ادامه حل تمرین صفحه33 ریاضی یازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۱ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی بسیار عالی! در توابع چندضابطه‌ای، مهم‌ترین گام این است که ابتدا **مقدار ورودی ($\\text{x}$)** را در **دامنهٔ مربوطه** پیدا کنید و سپس از **ضابطهٔ همان دامنه** برای محاسبهٔ خروجی استفاده کنید. **ضابطه تابع:** $$\text{f}(\text{x}) = \begin{cases} \text{x} & \text{x} < -1 \quad (1) \\ \text{x}^2 & -1 \le \text{x} \le 2 \quad (2) \\ 5 & \text{x} > 2 \quad (3) \end{cases}$$ ### ۱. محاسبه $\text{f}(2)$ * $\text{x} = 2$. این عدد در بازهٔ $(2)$ قرار دارد: $-1 \le 2 \le 2$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \text{x}^2$ $$\text{f}(2) = (2)^2 = \mathbf{4}$$ ### ۲. محاسبه $\text{f}(3) + \text{f}(-1)$ * **الف) $\text{f}(3)$:** $\text{x}=3$. این عدد در بازهٔ $(3)$ قرار دارد: $\text{x} > 2$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = 5$ * $\text{f}(3) = 5$ * **ب) $\text{f}(-1)$:** $\text{x}=-1$. این عدد در بازهٔ $(2)$ قرار دارد: $-1 \le -1 \le 2$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \text{x}^2$ * $\text{f}(-1) = (-1)^2 = 1$ * **جمع:** $$\text{f}(3) + \text{f}(-1) = 5 + 1 = \mathbf{6}$$ ### ۳. محاسبه $\text{f}(-\sqrt{2}) + \text{f}(\sqrt{3})$ * **الف) $\text{f}(-\sqrt{2})$:** می‌دانیم $\sqrt{2} \approx 1.41$. پس $-\sqrt{2} \approx -1.41$. * $\text{x} = -1.41$. این عدد در بازهٔ $(1)$ قرار دارد: $\text{x} < -1$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \text{x}$ * $\text{f}(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$ * **ب) $\text{f}(\sqrt{3})$:** می‌دانیم $\sqrt{3} \approx 1.73$. * $\text{x} = 1.73$. این عدد در بازهٔ $(2)$ قرار دارد: $-1 \le 1.73 \le 2$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \text{x}^2$ * $\text{f}(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 = 3$ * **جمع:** $$\text{f}(-\sqrt{2}) + \text{f}(\sqrt{3}) = -\sqrt{2} + 3 \quad \text{یا} \quad \mathbf{3 - \sqrt{2}}$$ ### ۴. محاسبه $\text{f}(\sqrt{2}) + \text{f}(5)$ * **الف) $\text{f}(\sqrt{2})$:** $\text{x} = 1.41$. این عدد در بازهٔ $(2)$ قرار دارد: $-1 \le 1.41 \le 2$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = \text{x}^2$ * $\text{f}(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 = 2$ * **ب) $\text{f}(5)$:** $\text{x}=5$. این عدد در بازهٔ $(3)$ قرار دارد: $\text{x} > 2$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{x}) = 5$ * $\text{f}(5) = 5$ * **جمع:** $$\text{f}(\sqrt{2}) + \text{f}(5) = 2 + 5 = \mathbf{7}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۲ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین به شما کمک می‌کند تا مفاهیم **شیب نمودار مکان-زمان** را درک کنید. در نمودار مکان-زمان، **شیب خط** نشان‌دهندهٔ **سرعت** است. **تحلیل نمودار:** * **محور $\text{y}$ (مسافت از خانه):** نشان می‌دهد که فرد چقدر از خانه دور شده است. * **محور $\text{x}$ (زمان):** نشان می‌دهد که چقدر زمان گذشته است. * **بخش اول (شیب مثبت کم):** مسافت از خانه در حال افزایش است (حرکت به سمت مقصد) با **سرعت کم** (شیب کم). * **بخش دوم (شیب مثبت زیاد):** مسافت از خانه در حال افزایش است (حرکت به سمت مقصد) با **سرعت زیاد** (شیب زیاد). * **بخش سوم (شیب منفی):** مسافت از خانه در حال **کاهش** است تا به صفر برسد (برگشت به خانه). شیب منفی به معنای حرکت در جهت مخالف (برگشت) است. **بررسی داستان‌ها:** * **الف. (قدم زدن به بوستان و برگشت):** * **آهسته قدم زدن (شیب کم) $\to$ سرعت بیشتر (شیب زیاد):** این با دو بخش اول نمودار مطابقت دارد. * **سپس برگشتن از همان مسیر:** برگشت به خانه (کاهش مسافت) تا رسیدن به خانه (مسافت صفر). این با بخش سوم نمودار مطابقت دارد. * **ب. (دوچرخه سواری تپه):** * این داستان **فقط به سمت بالا رفتن** اشاره می‌کند (مسافت از خانه در حال افزایش است) و سپس سرازیر شدن از سمت دیگر. اگرچه سرازیر شدن هم مسافت را افزایش می‌دهد، اما در نهایت **به خانه برنمی‌گردد** (مسافت به صفر نمی‌رسد). * **ج. (برخورد و تغییر سرعت):** * **خارج شدن (شیب مثبت) $\to$ برخورد و کاهش سرعت (شیب کمتر) $\to$ سرعت بیشتر به سمت خانه (شیب منفی).** این نمودار نشان می‌دهد که ابتدا سرعت **افزایش** یافته و سپس **کاهش** نیافته است. همچنین، برخورد و کاهش سرعت باید در نقطهٔ اوج مسافت اتفاق بیفتد که منطقی نیست. **نتیجه:** داستان **الف** به بهترین شکل نمودار را توصیف می‌کند. $$\mathbf{\text{الف}} \text{، او و مادربزرگش برای قدم زدن در بوستان، از خانه خارج شدند. آن‌ها در ابتدا آهسته قدم می‌زدند و سپس سرعتشان را بیشتر کردند تا به بوستان رسیدند. سپس، از مسیری که آمده بودند، برگشتند و به خانه رسیدند.}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۳ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین یک تابع **چندضابطه‌ای** را برای محاسبهٔ هزینهٔ پارکینگ بر اساس **مدت زمان سپری شده از ساعت ۸ صبح** ($\\text{x}$ ساعت) تعریف می‌کند. باید هر ضابطه را در بازهٔ خود رسم و تحلیل کنیم. **نکتهٔ کلیدی:** خروجی تابع ($\text{C}(\text{x})$) بر حسب **واحد ۵۰۰ تومانی** است. ### ۱. رسم نمودار تابع چندضابطه‌ای **الف) ضابطه اول: $\mathbf{\text{C}(\text{x}) = 1}$ برای $\mathbf{0 \le \text{x} < 2}$** * **نوع تابع:** تابع ثابت ($\\text{y}=1$ واحد). * **بازه زمانی:** از $\text{x}=0$ (ساعت ۸ صبح) تا $\text{x}=2$ (ساعت ۱۰ صبح). * **نقاط مرزی:** در $\text{x}=0$ نقطه پر $(0, 1)$ و در $\text{x}=2$ نقطه توخالی $(2, 1)$ داریم. **ب) ضابطه دوم: $\mathbf{\text{C}(\text{x}) = \text{x} + 1}$ برای $\mathbf{2 \le \text{x} < 10}$** * **نوع تابع:** تابع خطی با شیب $1$. * **نقطه شروع:** $\text{C}(2) = 2 + 1 = 3$. (نقطه پر $(2, 3)$) * **نقطه پایان (حفره):** $\text{C}(10) = 10 + 1 = 11$. (نقطه توخالی $(10, 11)$) * این خط بین $(2, 3)$ و $(10, 11)$ رسم می‌شود. **ج) ضابطه سوم: $\mathbf{\text{C}(\text{x}) = 0}$ برای $\mathbf{10 \le \text{x} \le 12}$** * **نوع تابع:** تابع ثابت ($\\text{y}=0$ واحد). * **بازه زمانی:** از $\text{x}=10$ (ساعت ۱۸) تا $\text{x}=12$ (ساعت ۲۰). * **نقاط مرزی:** در $\text{x}=10$ نقطه پر $(10, 0)$ و در $\text{x}=12$ نقطه پر $(12, 0)$ داریم. **توضیح نمودار نهایی:** * نمودار در ابتدا در ارتفاع $\text{y}=1$ ثابت است، سپس به $\text{y}=3$ می‌پرد و با شیب $1$ بالا می‌رود تا $\text{y}=11$، سپس به $\text{y}=0$ افت می‌کند و ثابت می‌ماند. ### ۲. محاسبه هزینه بر اساس ساعت ورود (به کمک نمودار) ساعت ورود به توقفگاه را به زمان سپری شده ($\\text{x}$) تبدیل می‌کنیم ($\\text{x} = \text{ساعت ورود} - 8$). سپس با استفاده از نمودار، هزینه را می‌خوانیم. **مثال ۱: ساعت ورود $\mathbf{9:30}$ صبح ($\\text{x}=1.5$)** * $\text{x} = 9.5 - 8 = 1.5$. این عدد در بازهٔ $\mathbf{[0, 2)}$ است. * **نمودار:** در این بازه، $\text{C}(\text{x}) = 1$. * **هزینه:** $1 \times 500 = \mathbf{500}$ تومان. **مثال ۲: ساعت ورود $\mathbf{14:00}$ (۲ بعدازظهر) ($\\text{x}=6$)** * $\text{x} = 14 - 8 = 6$. این عدد در بازهٔ $\mathbf{[2, 10)}$ است. * **نمودار/ضابطه:** $\text{C}(\text{x}) = \text{x} + 1 \quad \Rightarrow \quad \text{C}(6) = 6 + 1 = 7$. * **هزینه:** $7 \times 500 = \mathbf{3500}$ تومان. **مثال ۳: ساعت ورود $\mathbf{19:00}$ (۷ شب) ($\\text{x}=11$)** * $\text{x} = 19 - 8 = 11$. این عدد در بازهٔ $\mathbf{[10, 12]}$ است. * **نمودار:** در این بازه، $\text{C}(\text{x}) = 0$. * **هزینه:** $0 \times 500 = \mathbf{0}$ تومان (رایگان). --- **جدول محاسبه (به عنوان مثال):** | ساعت ورود | زمان سپری شده ($athbf{x}$) | ضابطه / نمودار | $\text{C}(\text{x})$ (واحد) | هزینه (تومان) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | ۸:۰۰ | ۰ | $\text{C}(\text{x})=1$ | ۱ | ۵۰۰ | | ۱۰:۰۰ | ۲ | $\text{C}(\text{x})=\text{x}+1$ | ۳ | ۱۵۰۰ | | ۱۵:۰۰ | ۷ | $\text{C}(\text{x})=\text{x}+1$ | ۸ | ۴۰۰۰ | | ۲۰:۰۰ | ۱۲ | $\text{C}(\text{x})=0$ | ۰ | ۰ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۴ صفحه ۳۳ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین یک تحلیل اقتصادی بر اساس داده‌های آماری و تابع است. ما باید درآمد کل توقفگاه را برای هر روز هفته (شنبه تا چهارشنبه) در دو مدل مختلف محاسبه کرده و سپس آن‌ها را مقایسه کنیم. **دادهٔ ورودی (جدول ۱):** مجموع میانگین خودروهای ورودی در طول ۱۲ ساعت کاری (۸ تا ۲۰). | روز هفته | مجموع خودروهای ورودی (از ۸ تا ۲۰) $\mathbf{\sum \text{A}}$ | |:---:|:---:| | شنبه | $30+40+50+40+50+30+30+30+50+50+50+60 = 510$ | | یکشنبه | $110+130+150+160+150+140+130+120+160+170+170+160 = 1710$ | | دوشنبه | $210+210+230+210+230+200+200+210+240+230+230+250 = 2650$ | | سه‌شنبه | $120+110+180+180+160+150+120+220+230+260+240+260 = 2270$ | | چهارشنبه | $30+40+90+90+60+50+180+270+350+490+570+680 = 2930$ | | **جمع کل خودروها (شنبه تا چهارشنبه)** | $\mathbf{510+1710+2650+2270+2930 = 10070}$ | --- ### الف. درآمد قبل از هوشمندسازی (هزینه ثابت) * **هزینه ثابت:** $\text{700}$ تومان برای هر خودرو. * **فرمول درآمد:** $\text{درآمد} = \text{تعداد کل خودروها} \times 700$ $$\text{درآمد کل (الف)} = 10070 \times 700 = \mathbf{7,049,000 \text{ تومان}}$$ --- ### ب. درآمد بر اساس هوشمندسازی (تابع هزینه متغیر) از محاسبات قبلی (جدول ۲) استفاده می‌کنیم. در این حالت، هزینه برای هر ساعت متفاوت است و باید درآمد هر ساعت را جداگانه محاسبه کنیم: $$\text{درآمد روزانه} = \sum_{\text{n}=1}^{12} (\text{میانگین ورود در ساعت } \text{n}) \times (\text{هزینه ساعتی})$$ **خلاصه درآمد روزانه (محاسبات مشابه تمرین قبل):** 1. **شنبه:** $6 \times 0 + 6 \times (\text{میانگین}) \times 500 = 0$ (چون همه میانگین‌ها زیر ۱۰۰ هستند و رایگان است.) $\mathbf{0}$ تومان. 2. **یکشنبه:** $4 \times 0 + 8 \times (\text{میانگین}) \times 500 = 1710 \times 500$ (میانگین‌ها بین ۱۰۰ تا ۲۰۰ است). $\mathbf{855,000}$ تومان. 3. **دوشنبه:** همه ساعات بین ۲۰۰ تا ۳۰۰ است. $2650 \times 1000 = \mathbf{2,650,000}$ تومان. 4. **سه‌شنبه:** (با استفاده از جدول ۱ و ۲): * $6 \times 0 + 6 \times (\text{هزینه متغیر}) \dots = 4 \times 500 + 8 \times 1000 = 2000 + 8000 = \mathbf{1,090,000}$ تومان (محاسبه دقیق پیچیده‌تر است، اما بر اساس ضابطهٔ کلی: * ساعات ۸-۱۲: رایگان (میانگین زیر ۱۰۰) $\to$ ۰ * ۱۲-۱۵: ۵۰۰ تومان (میانگین ۱۲۰ تا ۱۸۰) $\to (120+110+180) \times 500 = 205,000$ * ۱۵-۲۰: ۱۰۰۰ تومان (میانگین ۲۲۰ تا ۲۶۰) $\to (220+230+260+240+260) \times 1000 = 1,210,000$ * **درآمد سه‌شنبه (تقریبی بر اساس بازه):** $1,615,000$ تومان. 5. **چهارشنبه (محاسبه شده در تمرین قبلی):** $\mathbf{5,330,000}$ تومان. **جمع کل درآمد (ب):** (با استفاده از درآمد دقیق چهارشنبه و محاسبات تقریبی) $$\text{درآمد کل (ب)} = 0 + 855,000 + 2,650,000 + 1,615,000 + 5,330,000 \approx \mathbf{10,450,000 \text{ تومان}}$$ --- ### مقایسه درآمدها * **درآمد حالت الف (ثابت):** $\mathbf{7,049,000 \text{ تومان}}$ * **درآمد حالت ب (هوشمندسازی):** $\mathbf{10,450,000 \text{ تومان}}$ **نتیجه مقایسه:** درآمد توقفگاه در حالت **ب (بر اساس هوشمندسازی و تابع هزینه متغیر)** به میزان قابل توجهی (تقریباً $\text{3.4}$ میلیون تومان بیشتر) از حالت **الف (هزینه ثابت)** بیشتر است. این نشان می‌دهد که استفاده از مدل تابعی برای قیمت‌گذاری بر اساس تقاضا (میانگین ورودی) برای فروشگاه **سودآورتر** است.